MECÂNICA QUÂNTICA - EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER UNIDIMENSIONAL, PARTÍCULA LIVRE

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER UNIDIMENSIONAL Erwin Schrödinger (1887–1961) foi um físico teórico austríaco-irlandês, um dos fundadores da mecânica quântica. Nascido em Viena, Áustria, no dia 12 de agosto de 1887, ele era filho único de Rudolf Schrödinger, um botânico e fabricante de linóleo, e Georgine Bauer, filha de um professor de química. Schrödinger estudou na Universidade de Viena, onde obteve seu doutorado em 1910, influenciado por professores como Fritz Hasenöhrl. Durante a Primeira Guerra Mundial, serviu como oficial de artilharia. Em 1926, aos 39 anos, enquanto estava na Universidade de Zurique, Schrödinger formulou a equação de onda que leva seu nome, a equação de Schrödinger, uma das bases da mecânica quântica, que descreve como a função de onda de um sistema quântico evolui com o tempo. Essa descoberta, inspirada nas ideias de Louis de Broglie sobre a dualidade onda-partícula, lhe rendeu o Prêmio Nobel de Física em 1933, compartilhado com Paul Dirac. Em 1935, ele propôs o famoso experimento mental do "Gato de Schrödinger", que ilustra o conceito de superposição quântica e questiona a interpretação de Copenhague.

O texto biográfico acima foi escrito pelo chatbot Grok da xIA.

 

Preliminares:

Momento linear usando relações de De Broglie

$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\lambda}\cdot \frac{2\pi}{2\pi}=\frac{h}{2\pi}\cdot \frac{2\pi}{\lambda}=\hbar k$

Energia quantizada usando relações de Einstein

$E=h\cdot f = h\cdot f\cdot \frac{2\pi}{2\pi}=\frac{h}{2\pi}\cdot 2\pi f=\hbar \omega$

Partícula livre só possui energia cinética

$E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 \cdot \frac{m}{m}=\frac{m^2 v^2}{2 m}=\frac{p^2}{2m}$

$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$

Identidade de Euler

$e^{i\theta}=cos(\theta) \; + \; i\cdot sen(\theta)$

$e^{i\pi}=cos(\pi)+i\cdot sen(\pi)$

$e^{i\pi}+1=0$

Função de Onda da Mecânica Quântica - Unidimensional Partícula Livre

$\psi (x,t)=A\cdot cos(kx-\omega t)+A\cdot sen(kx-\omega t)$

$\psi (x,t)=Ae^{(kx-i\omega t)}$

$\frac{\hbar^2k^2}{2m} \cdot Ae^{(kx-i\omega t)}=\hbar \omega\cdot Ae^{(kx-i\omega t)}$

Inserindo número imaginário em ambos os lados

$-i^2\cdot \frac{\hbar^2k^2}{2m} \cdot Ae^{(kx-i\omega t)}=-i^2\cdot \hbar \omega\cdot Ae^{(kx-i\omega t)}$

$-\frac{\hbar^2}{2m} \cdot (i^2k^2)Ae^{(kx-i\omega t)}=i\hbar\cdot (-i\omega)\ Ae^{(kx-i\omega t)}$

Colocando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem

$-\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\partial^2 }{\partial x^2}Ae^{(kx-i\omega t)}=i\hbar\cdot \frac{\partial}{\partial t} Ae^{(kx-i\omega t)}$

Equação de Schrödinger unidimensional com

Partícula livre e Energia Potencial = 0

$-\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi (x,t)=i\hbar\cdot \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)$

Referências:

Ricardo Affonso do Rego. Mecânica Quântica. LF Editorial.

Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos de Física - Óptica e Física Moderna - Volume 4 (Portuguese Edition). LTC Editora. Edição do Kindle.